Methoden zur Faktorisierung von Polynomen in Koeffizientendarstellung
Betreuer: M.Sc. Florian Deeg
Problemstellung: Ein Polynom P(x) vom Grad n besitzt im Allgemeinen genau n komplexe Nullstellen si und kann als Produkt der Linearfaktoren geschrieben werden als: P(x) = c(x – s1)..(x – sn) mit einer Konstanten c, dem Koeffizienten von xn. Sind die Koeffizienten eines Polynoms reellwertig können auch konjugiert komplexe Terme vorhanden sein. D.h. ein Polynom wird durch Faktorisierung in eine Funktion aus einzelnen Polynomen mit unabhängigen Nullstellen zerlegt, die miteinander multipliziert werden und 1. oder 2. Grades sind. Bei Polynomen in Koeffizientendarstellung, die z.B. Übertragungsfunktionen von analogen Schaltungen darstellen, kann diese Schaltung auf Null- und Polstellen untersucht und damit das Verhalten der Schaltung modelliert werden. Ein mögliches Anwendungsgebiet ist die Verstärkertheorie. Nullstellen eines Polynoms 2. Grades können durch die Mitternachtsformel direkt bestimmt werden, Polynome 3. und 4. Grades durch die Cardanischen Formeln. Nullstellen von Polynomen höheren Grades werden i.A. durch numerische Verfahren bestimmt.
Problemlösung: Es soll ein Algorithmus zur Faktorisierung von Polynomen ausgearbeitet werden, der nicht auf annähernden, numerischen Verfahren, sondern auf analytischen Verfahren basiert, sodass ein eindeutiges Polynom in faktorisierter Darstellung vorliegt. Dieser Algorithmus kann im zweiten Schritt programmiert werden, sodass bei Eingabe des Polynoms ein faktorisiertes Polynom ausgegeben wird.
Durchführung:
Die Durchführung ist in drei Teilen geplant:
- Einarbeitung in die Theorie der Faktorisierung von Polynomen
- Ausarbeitung der Vorgehensweise zur Bestimmung der Nullstellen
- Erstellung eines Programms zur Faktorisierung von Polynomen bis 5. Ordnung
Beginn ab sofort - Geeignet für studentische Arbeiten (BA, MA, DiplA, Forschungspraktikum)